数学を1からやりなおす Vol.54 微分(4)

今回は、接線の方程式について理解したことを書き綴ります。

微分
< 接線の方程式1 >


☆0177
<曲線上にある1点における接線の求め方 >

直線の方程式を利用して求める。

傾きをm、点の座標を(a,b)としたとき、
直線の方程式は以下となる (式①)。

式①
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または、式②となる。

式②
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上記をグラフで表すと図③のとおりとなる。

図③
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傾きmの方程式を y=mx+k としたとき、
この k は、点(a,b)を通ることから、
b=ma+k から、k=b-ma となる。

これを y=mx+k に代入すると、
y=mx+b-ma となり、これを書き換えて、

y-b=m(x-a) となる。

曲線y=f(x)上の点P(a,f(a))における方程式は以下となる (図④)。

図④
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点Pは、下記の微分係数によって求められるが (式⑤)、

式⑤
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これは傾きであるので、下記が成り立つ。

m=f’(a)

よって、点Pにおける接線の方程式は、
上記の直線の方程式に代入して、

y-f(a)=f’(a)(x-a)

または、

y=f’(a)(x-a)+f(a)

となる。


例1 次の式について、x=-1の点における接線の方程式を求める。

式⑥
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まずは、接点の座標を求める。

y=f(x)として (⑦)、


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上記から、接点の座標は(-1,2)となる。

次に、導関数の式から、以下が導き出される (⑧)。


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y’=f’(x)として、⑨となる。


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よって、傾きは2となる。

上記の接点の座標と傾きを接線の方程式に代入して、
下記の式が導き出される (⑩)。


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グラフで表すと、図⑪となる。

図⑪
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☆0178
傾きが判明している場合の接線の方程式の求め方について見ていく。

式①について、

式①
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傾きが2のとき、

まずは、y=f(x)について、導関数を求める (②)。


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接点の座標を(a,f(a))とおくと、上記について、傾きはf’(a)=2なので、
下記が導き出される (③)。


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③について、根の公式から以下の根が得られる (④)。


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上記は、接点のx座標になる。
そこから、それぞれの根をy=f(x)に代入して接点のy座標となる⑤と⑥が得られる。


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つまり、接点P(1-,2)


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つまり、接点Q(2/3,19/27)

傾き2と、上記2つの接点から、それぞれの接線の方程式は以下となる (⑦、⑧)。

y=f’(a)(x-a)+f(a) にそれぞれの接点の座標を代入する。


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上記をグラフで表すと、以下の通りとなる (図⑨)。

図⑨
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参考書籍およびWebサイト
ベレ出版 語りかける高校数学 数II編
KADOKAWA 坂田アキラの数IIの微分積分が面白いほどわかる本
高校数学の基礎問題
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/index_m.htm

・感想
グラフで式がどのように表されるのかは、こまめに確認する必要があると思っています。

>> 次回は、接点の座標がない場合の接線の方程式の求め方について、理解したことを記載していきます。

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