ディープラーニングG検定の勉強中 その18(内積)

書籍「最短コースでわかるディープラーニングの数学」の内容に沿って勉強しています。

今回は、内積について見ていきます。


内積は、ベクトル間の積を求めるものです。

参考サイト
Studyplus(【内積とは】ベクトルの内積の意味や公式・計算方法を知って大学合格へ!)

図1
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図1のように、ベクトル r とベクトル x があるとき、
ベクトル x と、ベクトル r の向きと大きさをベクトル x と同じ向きの大きさに換算したもの(ここでは ベクトル x' とする)を掛けることでこの2つのベクトルの内積を算出することができます。

上記の太字は、つまりはベクトル r とベクトル x の比を求めようとしているわけで、要するに、この式は、cosに相当します。

式1 直角三角形で、θ = 30°のときのx / r
3-5-1-2.png

式1によって比が算出されたら、後はベクトル r の式1の比を掛け合わせることで、ベクトル x と同じ向きの大きさベクトル x' が算出されるので、

式2 ベクトル r = 2、ベクトル x = √3 のとき
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図2
3-5-1-4.png

あとは、ベクトル x と、ベクトル x' をかけると、内積が算出されます。

式3
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ベクトル x' は、ベクトル r のことなので、式4となります。

式4
3-5-1-6.png


なお、2つのベクトルは、それぞれが直角三角形の2辺を構成している必要はなく、要は、ベクトル r からのベクトル x と直角になる垂線で新たな直角三角形を作って計算するイメージなので、例えば、
ベクトル r = 3、ベクトル x = 4の場合でも、式5のように内積を算出することができます。

式5 θ = 30°の場合
3-5-1-7.png

この式を一般化すると式6になります。

式6
3-5-1-8.png


なお、ベクトル r とベクトル x の角度θについて、

角度0°のときが最も内積の値が大きくなり(比が1となるため)、
角度180°のときに内積が最小となります(比が-1となるため)。
角度90°のときは、内積は0となります。

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