数学を1からやりなおす Vol.51 微分 (1)

今回は、関数における極限値について、理解したことを綴っていきます。

微分
<　極限値　>


☆0168
接線の傾きを求める前段階としての極限値について見ていく。

関数 f (ｘ)において、ｘがａに限りなく近づくとき、
f (ｘ)の極限はａである (図①)。

図①

このことを「ｘ→ａのとき、f (ｘ)→ａ」といい、式では以下のように表す (式②)。

式②

また、f (ｘ)が整式 (多項式)のとき、下記が成り立つ (式③)。

式③

よって、次の式の場合の答えは以下となる (④)。

④

例１　ａ ＝ 3 のとき
次の式の極限を求める (⑤)。

⑤

上記のグラフは以下となる (図⑥)。

図⑥

ただし、ｘは 3 ちょうどではないし、ｙも 4 ちょうどにはならない。

例２　ａ ＝ －2のとき
次の式の極限を求める (⑦)。

⑦

上記のグラフは以下となる (図⑧)。

図⑧

☆0169
不定形の極限について見ていく。

整式によっては、★0168の式③の公式が成り立たない場合がある。
関数の整式が 0／0 (見かけ上の不定形)となる場合は、
以下の2つの方法によって不定形を避ける形で対処する。

［１］
分母、分子ともに多項式なら、必ず (ｘ－ａ)を因子に持つので、
分母、分子ともに因数分解の後、(ｘ－ａ)で約分してから極限を求める。
約分できる根拠としては、
(ｘ－ａ)のｘはａに限りなく近づくａでない値であることが挙げられる。
ａに限りなく近いａでない値で厳密に計算すると、不定形にはならない。

［２］
分子が無理式 (√ )の場合は、分子を有理化の後、 ［１］ を経て極限を求める。

例１ ａ ＝ 2 のとき
次の式の極限を求める (①)。

①

上記のグラフは以下となる (図②)。

図②

例２　ａ ＝－3 のとき
次の式の極限を求める (③)。

③

について、そのまま－3を代入すると、不定形になってしまうので、
まずは分子の有理化を行い、分母との約分を目指す。

有理化には、因数分解の公式の1つである「和と差の積」を分子に用いる (④)。

④

これで、(ｘ ＋ 3)で約分できるので、
あとは、－3を代入して極限を求める (⑤)。

⑤

上記のグラフは以下となる (図⑥)。

図⑥

参考書籍
ベレ出版　語りかける高校数学　数ＩＩ編
KADOKAWA　坂田アキラの数ＩＩの微分積分が面白いほどわかる本

・感想
極限値の計算は通常の方程式の解き方と似ていますが、不定形の存在によって、極限の性質が少し理解できたと思います。

>>　次回は、平均変化率と微分係数について、理解したことを記述していきます。