数学を1からやりなおす Vol.51 微分 (1)

今回は、関数における極限値について、理解したことを綴っていきます。

微分
< 極限値 >



☆0168
接線の傾きを求める前段階としての極限値について見ていく。

関数 f (x)において、xがaに限りなく近づくとき、
f (x)の極限はaである (図①)。

図①
画像

このことを「x→aのとき、f (x)→a」といい、式では以下のように表す (式②)。

式②
画像

また、f (x)が整式 (多項式)のとき、下記が成り立つ (式③)。

式③
画像

よって、次の式の場合の答えは以下となる (④)。


画像


例1 a = 3 のとき
次の式の極限を求める (⑤)。


画像

上記のグラフは以下となる (図⑥)。

図⑥
画像

ただし、xは 3 ちょうどではないし、yも 4 ちょうどにはならない。

例2 a = -2のとき
次の式の極限を求める (⑦)。


画像

上記のグラフは以下となる (図⑧)。

図⑧
画像



☆0169
不定形の極限について見ていく。

整式によっては、★0168の式③の公式が成り立たない場合がある。
関数の整式が 0/0 (見かけ上の不定形)となる場合は、
以下の2つの方法によって不定形を避ける形で対処する。

[1]
分母、分子ともに多項式なら、必ず (x-a)を因子に持つので、
分母、分子ともに因数分解の後、(x-a)で約分してから極限を求める。
約分できる根拠としては、
(x-a)のxはaに限りなく近づくaでない値であることが挙げられる。
aに限りなく近いaでない値で厳密に計算すると、不定形にはならない。

[2]
分子が無理式 (√ )の場合は、分子を有理化の後、 [1] を経て極限を求める。

例1 a = 2 のとき
次の式の極限を求める (①)。


画像

上記のグラフは以下となる (図②)。

図②
画像


例2 a =-3 のとき
次の式の極限を求める (③)。


画像

について、そのまま-3を代入すると、不定形になってしまうので、
まずは分子の有理化を行い、分母との約分を目指す。

有理化には、因数分解の公式の1つである「和と差の積」を分子に用いる (④)。


画像

これで、(x + 3)で約分できるので、
あとは、-3を代入して極限を求める (⑤)。


画像

上記のグラフは以下となる (図⑥)。

図⑥
画像



参考書籍
ベレ出版 語りかける高校数学 数II編
KADOKAWA 坂田アキラの数IIの微分積分が面白いほどわかる本

・感想
極限値の計算は通常の方程式の解き方と似ていますが、不定形の存在によって、極限の性質が少し理解できたと思います。

>> 次回は、平均変化率と微分係数について、理解したことを記述していきます。

ブログ気持玉

クリックして気持ちを伝えよう!

ログインしてクリックすれば、自分のブログへのリンクが付きます。

→ログインへ

なるほど(納得、参考になった、ヘー)
驚いた
面白い
ナイス
ガッツ(がんばれ!)
かわいい

気持玉数 : 0

この記事へのコメント

この記事へのトラックバック