数学を1からやりなおす Vol.49 方程式と関数(21)

今回は、1次関数と2次関数における逆関数について理解したことを記載していきます。

方程式と関数
< 逆関数 >



☆0164
逆関数とは、x (独立関数)と、y (従属関数)の役割を交換し、同じ対応を逆から見た関数のことである。

独立変数とは、結果の原因となる変数で、
従属変数とは、独立変数によって現れる結果を意味する変数である。

つまり、原因となる要因がyとなり、
yの結果として現れるものxが、逆関数である。


☆0165
< 逆関数の性質 >

(1) 逆関数では,もとの関数の定義域,値域が,値域,定義域となる。

(2) y = f (x) のグラフとその逆関数 y = g (x) のグラフは,直線 y = x に関して対称である。

(3) 逆関数が存在するためには、1つのyに対して対応するxがただ1つ定まらなければならない。
   つまり、単純増加または単純減少の区間を定義域とすれば逆関数が存在する。


☆0166
1次関数の逆関数について見ていく。

式①はxを 3 倍して、4 を加えた結果である (つまり、関数)。

式①
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式①のxに数字を代入すると、下記の結果となる (②)。

例1


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逆関数ではこの逆の操作となるので、
yから 4 を引いて、 3 で割った結果がxとなる (式③)。

式③
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このとき、あくまでもxの関数として考えるため、上記のxはy、yはxに書き換える。
ただし、xとyの値を交換するのではなく、単に文字を交換するのである (式④)。

式④
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式④が式①の逆関数となる。

なお、関数をf (x)で表すが、逆関数は、以下で表す。-1は「インバース」と呼ぶ。
式④のxに数字を代入すると、下記の結果となる (⑤)。

例2


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例1と例2を見ると、関数のxは逆関数の答えとなり、逆関数のxは、関数の答えとなることが分かる。
つまり、関数と逆関数は1対1で対応する。

式①とその逆関数をそれぞれグラフで表すと以下となる (図⑥)。

図⑥
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1次関数とその逆関数は、y=xにおいて線対称となる。


☆0167
2次関数の逆関数について見ていく。

逆関数では、定義域内で単純増加または単純減少となる必要があるため、
2次関数では場合分けが必要となる。

式①について、

式①
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まず、xについて解くと、次の根が得られる (②)。


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次に、xとyの文字を交換することで、2次関数の逆関数が得られる (式③)。

式③
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検算 ④⑤


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ただし、2次関数には、単純増加と単純減少が同時に存在するので、グラフの頂点で場合分けする。

式①の頂点は、平方完成から求められる (⑥)。


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上記より、(-1, -4)となるため、x ≦ -1と、x > -1 にて場合分けする (図⑦)。

図⑦
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つまり下記の逆関数となる (⑧)。


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これをグラフにすると以下のようになる (図⑨)。

図⑨
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2次関数とその逆関数も、y=xの線対称となる。


・感想
今回で、「オイラーの贈物」第2章の方程式と関数について基本的なところを学び終えました。
この本には、いろいろな種類のグラフとか、関数の凹凸について記述されている箇所があるのですが、次章以降で関わることになりそうなので、今回は割愛しました。

次回からは第3章「微分」に進みます。この分野もほとんど全てを忘れてしまっているので、基礎からしっかり学習します。

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