数学を1からやりなおす Vol.25 パスカルの三角形(24)

今回は、一般化された二項係数について、理解したことを記載していきます。

パスカルの三角形 (24)
< 一般化された二項係数 >



☆0101
次の一般項について考える。

式①
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nの係数にあたる部分は、「一般化された二項係数」と呼ばれる。
ν(ニュー)は、任意の実数である。

自然数に関する二項係数の記号を使って式②のように書く。

式②
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νが自然数のとき「vn = vn(※1)」となる。
※1 「オイラーの贈物」にはそう書いてあるのですが、誤字ではないでしょうか。実際は何なのか気になりますが、一旦保留して先を進めます。

上記から、式③となる。

式③
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このとき、式②をan+1/an に代入すると、式④とその解が得られる。

式④
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上記より、式⑤と、その解が得られる(※2)

式⑤
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※2 上記の解にはνが含まれると思うのですが、「オイラーの贈物」には|p|と書いてあるため、一旦保留とします。判明した時点で追記・修正します。

式⑤から、|p| < 1 のとき、 0 に収束する。(式⑥)

式⑥
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・感想
今回、不明点が2箇所出てきました。現時点では調べてみても正誤の判断がつかなかったため、保留にしましたが、今回の式が応用されるところに来たときは、もう少し丁寧に調査してみる必要があると思っています。

>> 次回は、パスカルの三角形と数の和について理解したことを記載していきます。

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