テーマ:数学

数学を1からやりなおす Vol.27 パスカルの三角形(26)

今回で、パスカルの三角形についての記載は完了です。 パスカルの三角形 (26) < 数列の和つづき > ☆0103 無限個の和について、考える。 式① 無限級数 (infinite series) まずは、有限和の式を変形する。(式②) 式② この式を、第n項までの和の意味で、第n…
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数学を1からやりなおす Vol.26 パスカルの三角形(25)

いよいよパスカルの三角形もあと少しとなりました。 パスカルの三角形 (25) < 数列の和 > ☆0102 有限級数 (finite series)を求める。 パスカルの三角形の第n段までに現れる全ての数の和を求める。 パスカルの三角形 例1 2段目までの場合 1 + 1 + 1 = …
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数学を1からやりなおす Vol.25 パスカルの三角形(24)

今回は、一般化された二項係数について、理解したことを記載していきます。 パスカルの三角形 (24) < 一般化された二項係数 > ☆0101 次の一般項について考える。 式① pnの係数にあたる部分は、「一般化された二項係数」と呼ばれる。 ν(ニュー)は、任意の実数である。 自然数に関…
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数学を1からやりなおす Vol.24 パスカルの三角形(23)

前回からの続きです。 パスカルの三角形 (22) < 項の比による判定法つづき > ☆0098 次の一般項における数列の極限について考える。Dは定数である。 式① 0 < r < 1 のときには、式②が成り立つことから、 式② 定数が、0 < D < 1 についても、極限は 0 と…
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数学を1からやりなおす Vol.23 パスカルの三角形(22)

今回は、収束性を、項の比を利用して求める判定法について理解したことを記載していきます。 パスカルの三角形 (22) < 項の比による判定法 > ☆0095 前回は、二項定理によって収束性を判定した。 今回は、項の比によって収束性を判定する。 |K| < 1 のときに、以下の極限値K(①)が存在する…
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数学を1からやりなおす Vol.22 パスカルの三角形(21)

前回の続きからです。 パスカルの三角形 (21) < 有界・単調数列づつき > ☆0094(つづき) 一般項が で与えられるとき、 となるから、 の右辺の式を使って、各項を計算していけばよいことになる。 ・第1項 第1項目は、二項式の 0 乗なので、解は 1 となる。 ・第…
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数学を1からやりなおす Vol.21 パスカルの三角形(20)

今回は、収束の判定法について、理解したことを記載していきます。 パスカルの三角形 (20) < 有界・単調数列 > ☆0092 与えられた数列の収束性を判定する方法の1つとして、 有界性と単調性を明らかにする、というものが挙げられる (もう1つの方法は、項の比により判定する…後述)。 ☆00…
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数学を1からやりなおす Vol.20 パスカルの三角形(19)

今回は、パスカルの三角形とフィボナッチ数列の関係性について理解したことを記載していきます。 パスカルの三角形 (19) < フィボナッチ数列と無限数列 > ☆0087 フィボナッチ数列 (Fibonacci sequence) は、漸化式 (recurrence formura) の 1つで、 ある項と、そ…
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数学を1からやりなおす Vol.19 パスカルの三角形(17)

今回は、パスカルの三角形を「数列」の観点から見ていきます。 パスカルの三角形 (18) < 等比数列 > ☆0085 パスカルの三角形の各段の数の和を求める。 nは、(段の数 - 1) である。 このとき、段ごとの項の和をSn (n= 0~7) とすると、以下のような解となる。 上記を二項係…
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数学を1からやりなおす Vol.18 パスカルの三角形(17)

今回は、二項定理について、理解したことを記載していきます。 パスカルの三角形 (17) < 二項定理 > ☆0080 二項aとbの、それぞれ0乗から7乗までの組み合わせは以下のとおりとなる。 しかし、(a + b)のn乗について、この表のすべてが出てくるわけではなく、実際は、次のパスカルの三角形…
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数学を1からやりなおす Vol.17 パスカルの三角形(16)

今回は、二項定理の前準備として、階乗について理解したことを記載していきます。 パスカルの三角形 (16) < 階乗 > ☆0076 1から始まる n個の整数全部の積を,nの階乗といい,これを記号 n!で表わす。 特に、0! = 1 とする。(参考) 例 7! のとき、 7! = 1 × 2 × …
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数学を1からやりなおす Vol.16 パスカルの三角形(15)

今回は、パスカルの三角形について理解したことを記載していきます。 パスカルの三角形 (15) < 二項展開とパスカルの三角形 > ☆0072 下記のような、左辺の指数(または冪(べき))のある二項式について展開を記述するものを、 二項展開 (binomial expansion) という。 …
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数学を1からやりなおす Vol.15 パスカルの三角形(14)

今回は、式の展開と因数分解について理解したことを綴っていきます。 ようやくパスカルの三角形が見えてきました。 パスカルの三角形 (14) < 式の展開と因数分解 > ☆0067 展開公式のうち、2つの数の和の2乗、2つの数の差の2乗については以下のものがある。 ① ② ☆0…
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数学を1からやりなおす Vol.13 パスカルの三角形(12)

今回も、実数について、理解したことを記載していきます。 パスカルの三角形 (12) < 実数 (その4) > ☆0056 循環小数(recurring decimal)とは、ある桁から先で同じ数字の列が無限に繰り返される小数のことである。 繰り返される数字の列(ひとかたまり)は循環列という。 循環…
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数学を1からやりなおす Vol.12 パスカルの三角形(11)

今回も実数の続きから理解したことを記載していきます。 パスカルの三角形 (11) < 実数 (その3) > ☆0053 絶対値(absolute value)とは、数の「大きさ」についての概念で、ある数が 0 からどれだけ離れているかを表す。 ☆0054 |x|は、絶対値x と呼ぶ。 xの正…
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数学を1からやりなおす Vol.11 パスカルの三角形(10)

前回に引き続き、実数について理解したことを記載していきます。 パスカルの三角形 (10) < 実数(続き) > ☆0049 < 数直線について > ・直線の種類 ① 直線 どこまでもまっすぐ無限に伸びて端点(end point)を持たないもの。 終わりのない線なので、本来は正確…
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数学を1からやりなおす Vol.10 パスカルの三角形(9)

今回は実数について理解したことを綴っていきます。 パスカルの三角形 (9) < 実数 > ★0002 実数は、有理数(rational number)と無理数(irrational number)から構成されている。 ☆0042 有理数とは、比(ratio)で書ける数のこと。つまり、答が整数の…
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数学を1からやりなおす Vol.9 パスカルの三角形(8)

今回は、整数について理解したことを記載していきます。 パスカルの三角形 (8) < 整数 > ☆0032 < 負の数の定義 > 0よりも、1小さい数を「-1」とする。 これを負の整数をいう。 0と正負の数、両方を合わせて整数(integer)という。 ☆0033 整数同士の引…
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数学を1からやりなおす Vol.8 パスカルの三角形(7)

今回は、位取りとしての0と、数字としての0について理解したことを記載していきます。 パスカルの三角形 (7) < 位取りの0と数字の0 > ☆0029 ある位の「空き」の表現として、「0」を用いる。位取りの記号として0を扱う。 例 2306の場合、「十の位にはなにもない」ことを表すため、「0」を記号…
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数学を1からやりなおす Vol.7 パスカルの三角形(6)

今回は、奇数と偶数について理解したことを記載していきます。 パスカルの三角形 (6) < 奇数と偶数 > ☆0025 自然数は、奇数と偶数に分けられる。 整数も同様である。 ☆0026 奇数は2で割り切れない整数である。 偶数は2で割り切れる整数である。 ☆0027 自然数に限りがない…
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数学を1からやりなおす Vol.6 パスカルの三角形(5)

今回は、素因数分解の知識が生かされる内容です。 パスカルの三角形 (5) < 最大公約数と最小公倍数 > << 前提知識 素数 素因数分解 まずは約数についてもう一度。 ★0017 約数とは、ある整数を割り切る整数の総称である。因数、因子とも呼ばれる。  例 114の約数…
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数学を1からやりなおす Vol.5 パスカルの三角形(4)

今回も、素数について理解したことを綴っていきます。 パスカルの三角形 (4) < エラトステネスの篩(ふるい) > ☆0020 エラトステネスの篩(Sieve of Eratosthenes)は、ある範囲の自然数から、素数を抽出する方法である。 その方法とは、以下のとおりである。 1. 素数を…
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数学を1からやりなおす Vol.4 パスカルの三角形(3)

今回は、素数について理解したことを綴っていきます。 パスカルの三角形 (3) < 素数 > ☆0013 素数(prime number)は、1と自分以外に約数(divisor)を持たない自然数のことである。  2, 3, 5, 7 ,11, 13, 17… ☆0014 1と素数以外の自然数は…
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数学を1からやりなおす Vol.3 パスカルの三角形(2)

今回は、自然数について、理解したことを記載していきます。 パスカルの三角形 (2) < 自然数(natural number) > ☆0007 自然数は、1から始まる整数で、0および負の整数は含まれない。 ☆0008 自然数では、足し算(加法)と掛け算(乗法)が「自由」にできる。 ☆0009…
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数学を1からやりなおす Vol.2 パスカルの三角形(1)

書籍「オイラーの贈り物」の最初の章は、パスカルの三角形なのですが、 内容が凝縮されていることもあって、今の自分にはとっかかりがないことが判明しました。 ですので、中学生向きの書籍である「虚数の情緒」の内容を学びながら進めていきます。 なお、項目番号は、書籍に合わせているわけではありませんので、ご了承ください。 パ…
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数学を1からやり直す Vol.1

これまでずっと避け続けてきたもの、それが数学です。 社会人になってからは数学の式に触れる機会が激減したということもあって、 自分から数学に近寄ることは全くありませんでした。 電卓とか、Excelの存在もあり、自分で筆算する必要もほとんどないために、 今や自分でできる計算といえば、九九と自然数の四則演算のみ、ということにな…
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