数学を1からやりなおす Vol.46 方程式と関数(18)

今回も、前回から引き続き、2次関数の最大値・最小値について理解したことを記載していきます。

方程式と関数
< 2次関数の最大値・最小値その2 >


☆0161
定義域のある最大値・最小値のうち、頂点の座標に変数が含まれる場合について見ていく。

頂点の座標が変数である場合、2次関数のxの項にもその変数が現れる。

 下記の2次関数 (式①) の最大値・最小値を求める。

式①
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のxの項にaが含まれる場合、下記の式②となるが、

式②
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このときの頂点の座標は以下のようにして求められる (③)。


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このとき、定義域が、-2 ≦ x ≦ 2 なら、
aの値によって5つの場合に分けることができる。

[1] a ≦ -2 のとき


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となる。

例えば、a=-3 のときには、 (-(-3), -2(-3)^2 -5)から、
頂点の座標は、(3, -23) となるが、定義域内では、
最小値は、(2, -21) となる。
最大値は、(-2, 27) となる。

グラフでは図⑤のようになる。

図⑤
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[2] -2 < a < 0 のとき


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となる。

例えば、a=-1 のときには、 (-(-1), -2(-1)^2 -5)から、
頂点の座標は、(1, -7) となり、これが最小値となる。
最大値は、(-2, 11) となる。

グラフでは図⑦のようになる。

図⑦
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[3] a=0 のとき


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となる。

グラフでは図⑨のようになる。

図⑨
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[4] 0 < a ≦ 2 のとき


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となる。

例えば、a=1 のときには、 (-(1), -2(1)^2 -5)から、
頂点の座標は、(-1, -7) となり、これが最小値となる。
最大値は、(2, 11) となる。

グラフでは図⑪のようになる。

図⑪
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[5] 2 < a


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となる。

例えば、a=3 のときには、 (-(3), -2(3)^2 -5)から、
頂点の座標は、(-3, -23) となるが、定義域内では、
最小値は、(-2, -21) となる。
最大値は、(2, 27) となる。

グラフでは図⑬のようになる。

図⑬
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上記5つの場合全てが、式⑭の解答となる。

式⑭
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参考書籍 ベレ出版 語りかける高校数学 数I編

・感想
2次関数の頂点の位置によって、5つもの場合に分けられるとは全く気付いていませんでした。
具体的な数字だけでは見えないことも、変数で表すことで見えてくることがあるというのは自分にとって新たな発見でした。

>> 次回は、2次関数の最大値・最小値のうち、定義域の両辺が変数の場合について理解したことを記載していきます。

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