ディープラーニングG検定の勉強中 その19(成分表示による内積)

書籍「最短コースでわかるディープラーニングの数学」の内容に沿って勉強しています。

今回は、成分表示による内積について見ていきます。


前回は、2つのベクトルが作る角の角度θが分かっている状態で、各ベクトルの量が判明している場合の内積について見ましたが、
今回は、角度が分からず、各ベクトルの成分…2次元の場合は、ベクトル r (r1, r2)、ベクトル x (x1, x2)が判明している場合の内積の算出方法です。

ベクトル r とベクトル x の成分表示が式1のとき、

式1
3-5-2-1.png

式2で成分表示による内積を算出できます。

式2
3-5-2-2.png


それでは、実際に内積を計算してみます。

図1
3-5-2-3.png

図1のベクトル r とベクトル x の成分が式3のとき、

式3
3-5-2-4.png

式4の内積となります。

式4
3-5-2-5.png


今度は、ベクトルが直角三角形になっていない場合の内積です。

図2
3-5-2-6.png

図2の目盛りが「1」の場合、式5の内積が算出されます。

式5
3-5-2-7.png


なお、式2は、多次元にも拡張できるため、式6が成り立ちます。

式6
3-5-2-8.png

式6を簡略化して総和∑で表すと、式7となります。

式7
3-5-2-9.png


成分表示による内積をPythonで確認してみます。

参考サイト
DeepAge(ベクトルの内積や行列の積を求めるnumpy.dot関数の使い方)

--------------------
import numpy as np

r = np.array([-1, 3]) # ベクトル r の成分(r1, r2)
x = np.array([4, 2]) # ベクトル x の成分(x1, x2)

rx = np.dot(r, x)  # 1次元内積の計算(r1・x1 + r2・x2)

print("rx = " + str(rx))

--------------------
出力結果
rx = 2


内積を算出するAPIがあるとは本当に便利なものですね。

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