ディープラーニングG検定の勉強中 その17(三角関数)

書籍「最短コースでわかるディープラーニングの数学」の内容に沿って勉強しています。

今回は、三角関数について見ていきます。


直角三角形の特徴

直線 x の2倍の長さの直線 r

図1
3-4-1-1.png

で直角三角形を作ると、その内角が、90°、60°、30°の直角三角形になります。

図2
3-4-1-2.png

このとき、y の長さが不明ですが、三平方の定理で計算すると、

式1
3-4-1-3.png

y の長さが導き出されます。
なお、直角以外の角の角度が同じ場合は相似が成立するため、x と r が接する角度が60°の場合には、いつも式3の比率が成り立つわけです。

式3
3-4-1-4.png

そして、このように直角三角形の3辺の比率をsin(正弦)、cos(余弦)、tan(正接)で表したものが「三角比」です。


三角比

式4 三角比
3-4-1-5.png

つまり、θが60°のときには、sin、cos、tanの比率は式5となります。

式5
3-4-1-6.png

ところで、なぜsinを正弦、cosを余弦、tanを正接と呼ぶのかについては、下記のサイトに説明があります。

CinderellaJapan(「正弦」の意味)


三角関数

三角比では、内角についてのみの比率が算出されるだけですが、
単位円を用いると、三角比が外角にも拡張されます。
単位円は、半径 r が「1」の円です。

図3 単位円と直角三角形
3-4-1-7.png

円に接する直角三角形の角の座標は(cosθ, sinθ)となるのですが、
外角となる座標に設定することができ、

図4
3-4-1-8.png

r が 1 で、x が -1/2 とするなら、θは120°となり、つまりは、式6となります。

式6 θ = 120°
3-4-1-9.png

このように、三角比の考え方を拡張したものを「三角関数」といいます。


三角関数のグラフ

Pythonを使って単位円での三角関数のグラフを描画してみます。

ソースの引用サイト
Qiita([python]グラフ描画のためのライブラリMatplotlibの使い方)

--------------------
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 描画範囲の指定
x = np.arange(0, 4.1, 0.1)

# 計算式
y1 = np.sin(x)  # xの単位はラジアン
y2 = np.cos(x)

# グラフ描画設定
plt.plot(x, y1, label="sin")
plt.plot(x, y2, label="cos")

plt.xlabel("x")
plt.xlabel("y")
plt.title('sin & cos')

# グラフのグリッドを表示
plt.grid()

# ラベルの描画
plt.legend()
# グラフの描画実行
plt.show()

--------------------
出力結果
3-4-1-10.png

ラジアンと度数の関係については把握しきれていないので、ラジアンを度数に変換するソース等は、このことがきちんと把握できたら後日作るかもしれません。

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