数学を1からやりなおす Vol.55 微分(5)

今回は、接線の方程式について、曲線外の定点を通る接線の求め方について、理解したことを書き綴ります。

微分
< 接線の方程式2 >



☆0179
ある座標から曲線に引いた接線の方程式の求め方について見ていく。

例1 次の3次関数について (①)、


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より、次の導関数が導かれる (③)。


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接線の傾きをf’(a)、
接点のx座標をaとすると、
接点の座標は(a,f(a))となる。

座標(0, 0)を、
y-f(a)=f’(a)(x-a) に代入して、aの値を求める。

接点のx座標をx=aとすると、
接線の方程式は以下となる (④)。


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y-f(a)=f’(a)(x-a)が点(0, 0)を通ることから、代入して (⑤)、


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このaの値を、⑦に対して、代入して、


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接線の方程式が求められる (⑧)。


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グラフで表すと以下のようになる (図⑨)。

図⑨
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☆0180
曲線を通過する接線を求める。

★0179との違いは、曲線を通過する座標は、必ずしも接線の座標とは限らないということである。

例1 次の3次関数について (①)、


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点 (1,4)を通る接線の方程式を求める。


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より、次の導関数が導かれる (③)。


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接線の傾きをf’(a)、
接点のx座標をaとすると、
接点の座標は(a,f(a))となる。

座標(0, 0)を、
y-f(a)=f’(a)(x-a) に代入して、aの値を求める。

接点のx座標をx=aとすると、
接線の方程式は以下となる (④)。


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点(1,4)を、
y-f(a)=f’(a)(x-a) に代入して、aの値を求める (⑤)。


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組立除法により、
p=1のとき、


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よって、求める因数分解は、以下となる (⑦)。


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⑧の式について、根を求める。


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根の公式により、aの値が求められる。a=1は重根である。


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aのそれぞれの値について、接線の方程式を求める。

a=-1/2のとき (⑩)、


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a=1のとき (⑪)、


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グラフで表すと、以下のようになる (図⑫)。

図⑫
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参考書籍およびWebサイト
ベレ出版 語りかける高校数学 数II編
KADOKAWA 坂田アキラの数IIの微分積分が面白いほどわかる本

・感想
少し投稿の間隔が開いてきたので、もう少し精力的に取り組むようにします。

>> 次回は、増減表について理解したことを記載していきます。

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