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zoom RSS 数学を1からやりなおす Vol.52 微分 (2)

<<   作成日時 : 2016/10/10 23:30   >>

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今回は、平均変化率と微分係数について理解したことを記載していきます。

微分
< 平均変化率と微分係数 >



☆0170
< 平均変化率 >

平均変化率とは、変化の割合を意味する。傾きとも言われる。
xが 1 増加したときのyの増加量を指す。

関数 y= f (x)において、
xが a から b まで変化したときの平均変化率は以下の式で表される (式@)。

式@
画像

これをグラフにすると以下となる (図A)。

図A
画像

つまり、平均変化率は、上記の直線ABの傾きでもある。

例1 次の式の平均変化率を求める (式B)。

式B
画像

[1] xが−2から0まで変化するとき
Cが導き出される。

C
画像

グラフでは以下のようになる (図D)。

図D
画像


[2] xが2から3まで変化するとき
Eが導き出される。

E
画像

グラフでは以下のようになる (図F)。

図F
画像


[3] xが−2から4まで変化するとき
Gが導き出される。

G
画像

グラフでは以下のようになる (図H)。

図H
画像



☆0171
微分係数について見ていく。

関数 y= f (x)において、
xが a から b まで変化したときの平均変化率は★0170の式@で表されるが、
ここで、b−aをhと置き換えると、次の式となる (A)。

A
画像

これをグラフで表すと以下のようになる (図B)。

図B
画像

このとき、直線ABにおいて、
点Bが限りなく点Aに近づき、点Aと点Bが一致すると (極限値)、
それは、接線の傾きとなる。

この傾きを微分係数と呼び、f’(a)と表す。

関数 y=f(x)の、x=aにおける、
微分係数 f’(a)を求める公式は以下となる (式C)。

式C
画像

上記の公式により、曲線上のx=aの接線の傾き (微分係数)を求めることができるようになる。

下記のグラフでは、
f’(a)は、点A(a,f(a))における傾き(つまりは接線の傾き)となる (図D)。

図D
画像


例1 次の式について、x=3、2、1の場合の微分係数を求める。

・x=3の場合 (E)

E
画像


・x=2の場合 (F)

F
画像


・x=1の場合 (G)

G
画像

上記のそれぞれの場合をグラフにすると、以下の通りとなる (図H)

図H
画像

上記のグラフから、2次関数においては、x>0のときに、
xの数が大きくなるほど接線の傾きが急になることが分かる。


参考書籍
ベレ出版 語りかける高校数学 数II編
KADOKAWA 坂田アキラの数IIの微分積分が面白いほどわかる本

・感想
接線の傾きを求める理由が今のところは分かるような分からないような…。
おそらく先の方でこのことが生きてくるのだと思うので、とりあえず深く考えずに次に進みます。

>> 次回は、導関数の定義について理解したことを記述していきます。

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