数学を1からやりなおす Vol.53 微分(3)

今回は、導関数の定義について理解したことを記述していきます。

微分
< 導関数の定義 >




☆0172
下記の微分係数の定義では、aは定数だが (式①)、

式①
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aはいろいろな値を取ることができることから、
変数とみなすことができる。

そこでaをxとすることで次の式を定義できる。
これを関数 y=f(x) の導関数の定義という (式②)。

式②
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微分係数と導関数の定義との違いは、
微分係数は f(x) のある点を指しているのに対し、
導関数は f(x) のすべての点を指しているところである。


☆0173
y=x^nの導関数の特徴について見ていく。

導関数の中でもy=x^n (nは自然数)については、下記の公式で微分を求めることができる (式①)。

式①
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なお、この公式は、実数でも同じように使うことができる。

例1 次の式の導関数を式①を使って求める。


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式①の公式を使わない場合の計算は以下となる。

導関数の定義である (③)、


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から、以下のようにして答えが導かれる (④)。


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グラフにすると、以下の通りとなる (図⑤)。

図⑤
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グラフから、x = 2 のときの傾きは、下記となる (⑥)。


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☆0174
定数関数 y = c の導関数について見ていく。

c を定数としたとき、
定数関数 y = c の導関数の以下の公式で表される (式①)。

式①
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y = cとは、
x軸に平行、つまり、傾きが0ということを意味する。

例1 y=6の導関数を求める。

y’=(6)’=0


☆0175
定数倍 (係数付き)の導関数の公式について見ていく。

関数 f(x)が導関数を持ち、kは定数なら、下記の式となる (①)。


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例1 次の式の導関数を求める。


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の導関数は、下記となる (③)。


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☆0176
関数の和と差の導関数の公式について見ていく。

次の関数において (式①)、

式①
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この導関数の公式は以下となる (式②)。

式②
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この公式は、全ての多項式に応用できる。
和と差が混在していても適用できる。

例1 和と差の導関数の公式を使って答えを求める。

和について (③)、


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差について (④)、


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参考書籍
ベレ出版 語りかける高校数学 数II編
KADOKAWA 坂田アキラの数IIの微分積分が面白いほどわかる本

・感想
今回の公式は、知っているのと知らないのとでは手間が著しく違ういい例だと思います。
なので、忘れないようにします。

>> 次回は、接線の方程式について理解したことを書き綴ります。

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