数学を1からやりなおす Vol.45 方程式と関数(17)

今回は、2次関数の最大値・最小値について理解したことを記載していきます。

方程式と関数
< 2次関数の最大値・最小値その1 >



☆0159
定義域なしの、最大値・最小値について見ていく。

定義域とは、xの値の範囲 (変域)である。
定義域がないとは、言い換えると、xがどのような実数も取りうることを意味する。

標準式で関数を表すと (a≠0)、

式①
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となるが、

a > 0 のときには、
グラフは下に凸となり、
頂点 (p,q)と、最小値q (x=p) は、同じ座標となる。

一方、a < 0 のときには、
グラフは上に凸となり、
頂点 (p,q)と、最大値q (x=p) は、同じ座標となる。


☆0160
定義域のある最大値・最小値について見ていく。

-1 ≦ x ≦ 1 のように定義域が存在する場合は
以下の例のような解答とグラフになる。

例1 次の2次関数 (式①)の最大値・最小値を求める。
定義域は、-2 ≦ x ≦ 2 とする。

式①
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頂点の座標を求める。

平方完成の公式により、(②)


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上記から、p=-1, q=-7 となる。
よって、頂点の座標は、(-1, -7) となる。

グラフは図③となる。

図③
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このとき、定義域 (-2 ≦ x ≦ 2) より、④となる。


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参考書籍 ベレ出版 語りかける高校数学 数I編

・感想
最大値も最小値も式だけを見てては分かりにくいので、グラフの助けを借りて理解を進めていきます。

>> 次回は、2次関数の最大値・最小値について、頂点のx座標が変数の場合について理解したことを綴っていきます。

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