数学を1からやりなおす Vol.44 方程式と関数(16)

今回は、2次関数の平行移動について理解したことを記載していきます。

方程式と関数
< 2次関数の平行移動 >



☆0157
放物線の頂点に着目した平行移動の解法を見ていく。

式①について、

式①
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をx軸方向にp、y軸方向にq、平行移動すると、
グラフの頂点は、(0, 0)から、(p,q)に変わる。これを式で表すと、式②となる。

式②
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これは、前出 (★152)の2次関数の標準形 (基本形)である。
下記の例は、平行移動を頂点に着目して行う解法である。

例1 次の関数 (式③)のグラフをx軸方向に-2、y軸方向に 3だけ平行移動する関数を求める。

式③
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平方完成の公式は、式④なので、

式④
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この式の項を式②の標準形に代入すると、式⑤となる。

式⑤
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上記から、頂点の座標は、(0, 0) となる。
ここから、x軸方向に-2、y軸方向に-3だけ平行移動すると、
頂点の座標は、(-2, -3)となる。

これを標準形に代入すると、求める2次関数は、式⑥となる。

式⑥
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平行移動する前と後のグラフは図⑦となる。

図⑦
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例2 次の関数 (式⑧)のグラフをx軸方向に-4、y軸方向に1だけ平行移動する関数を求める。

式⑧
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平方完成の公式から、以下となる (⑨)。


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この式を標準式に当てはめると、
p=1、q=-5 となる。つまり、頂点の座標は、(1, -5)となる。
この座標からx軸方向に-4、y軸方向に1移動するので、
移動後の頂点の座標は、(-3, -4)となる。

この座標を標準式に代入すると、求める関数は以下となる (式⑩)。

式⑩
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平行移動する前後のグラフは図⑪となる。

図⑪
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☆0158
次に、平行移動をy=f (x)に着目して行う解法を見ていく。

下記の関数 (式①)

式①
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について、x軸方向にa、y軸方向にb平行移動したものは、
以下の公式で表すことができる (式②)。

式②
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この公式を用いて、下記の例題に取り組む。

例1 次の関数 (式③)のグラフをx軸方向に-3、y軸方向に3だけ平行移動する関数を求める。

式③
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下記の平行移動の公式から、移動後の関数を求める (④)。


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よって、移動後の関数は⑤となる。


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平行移動する前後のグラフは図⑥となる。

図⑥
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参考書籍
ベレ出版 語りかける高校数学 数I編
旺文社 数学I・A 基礎問題精講

・感想
どこに着目するかで解法の手間が全くことなることを理解できました。
しかし、現時点では、いろんな解法を身に着けておきたいと思っています。

>> 次回は、2次関数の最大値・最小値の求め方について理解したことを綴っていきます。

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