数学を1からやりなおす Vol.40 方程式と関数(12)

今回は、2次関数について、理解したことを記載していきます。

方程式と関数
< 2次関数 >



☆0144
2次関数とは、下記の式①について、
未知数xについて、数直線上を自由に動く「変数」とみなすことによって、
xの関数yとしたとき、最高次の次数が2 となるものである。

式①
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ある変数xに対し、変数yの値が1つに決まるとき、「yはxの関数である」という。
このとき、xを「独立変数(変数)」、yを「従属変数」と呼ぶ。

2次方程式のグラフによる解法とは、与えられた2次関数と、
1次関数y=0 の交点を探すことである。


☆0145
2次関数をもっとも性格づけている要素は、次数が2 の項である。
つまり、下記の式①のように変形したとき、

式①
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xが大きくなればなるほど、式②に近づくことから、

式②
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2次関数の主役は、2次の項であると言える。


☆0146
< グラフで見る1次関数との違い >

1次関数は、値の上限も加減もないために、最小も最大もない。
2次関数の場合には、y=axの2乗の場合には、必ずプラスの値となり、マイナスの値とならない。
そして、最小値が存在し、その一方で最大値は存在しない(図①)。

図①
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y=-axの2乗の場合には、必ずマイナスとなり、プラスの値とならない。
そして、最大値が存在し、最小値は存在しない(図②)。

図②
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☆0147
< 2次関数の曲線の性質 >

2次関数の曲線を「放物線」という。

下記の式①において、aが正数の場合、yはx=0 で最小値 0 を取る。
aが負数の場合、yは、x=0 で、最大値 0 を取る。

式①
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放物線が、最小値、最大値を取る位置を、「放物線の頂点」と呼ぶ。


☆0148
yがxの関数であることを式①のように書く。

式①
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 ②


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このとき、xの変域を「定義域」、yの変域を「値域」という。

この記事の参考書籍:ベレ出版 語りかける高校数学 数I編


・感想
数式をグラフで表現できることにはとても興味があります。今後もグラフでの表現の理解を深めます。
それと、「オイラーの贈物」と「虚数の情緒」では、2次関数についての記述が少ないため、当面は、他の参考書を用いて理解を深めていくことになりそうです。

>> 2次関数を表す2つの式について、理解したことを綴っていきます。

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