数学を1からやりなおす Vol.39 方程式と関数(11)

今回は、1次関数のグラフについて理解したことを記載します。

方程式と関数
< 1次関数 >


☆0135
数平面を表すグラフは、4つの区分に分けられる(図①)。

図①
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☆0136
グラフ上の位置と数とを対応させた基準を「座標」と呼ぶ。
特に、2本の数直線が直交したものを「直交座標」と呼ぶ。
平面上の1点を、(x,y)で表す。


☆0137
x軸に平行のグラフは以下の図のようになる(図①)。

図①
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y軸に平行のグラフは、下図のようになる(図②)。

図②
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☆0138
< 1次関数 >

1次関数のグラフは直線になるため、別名「線形関数」と呼ばれる。
「線形」は、比例の代名詞ともなっている。

図①
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赤点の位置は(3, 0)である。
方程式では、y=2 × 0 + 3 から、y= 3 となる。

緑点の位置は、y=0 であることから、
0 = 2x + 3 となり、x=-3/2 となる。
つまり、(-3/2, 0)となる。


☆0139
2本の直線の交わる場所を交点という(赤の点)。
ある直線が、y軸を横切る点をy切片という(緑の点)。

図①
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☆0140
< 1次関数の性質 >

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について、直線が、y軸(x=0)を横切る点であるy切片は、
xに 0 を代入して、y=b あるいは(0, b)となる。

x軸を横切る点は、x軸(y=0)より、yに 0 を代入して、
0 = ax + bより、x= -b/a、あるいは(-b/a, 0)となる。

直線の傾きは、水平移動と垂直移動の比として表される(①)。


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以上から、aとbの定数はグラフ上で以下の意味を持つことになる(②)。


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また、一次関数は以下の性質を持つ。

傾きが 0 でない直線は、必ずx軸を横切ることから、
aが 0 でない1次方程式は必ず解を持つ。

直線は無限であることから、マイナスからプラスに転じる際に 0 を通過する。
つまり、「正負の両端があれば、必ず間に 0 がある」(中間値の定理)。


☆0141
下記の式のように、2つ以上の方程式を一組として考え、未知数が同一の値をとるとき、
この方程式の組を連立方程式( simultaneous equation)という(式①)。

式①
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☆0142
連立1次方程式を代入法で解く(式①)。

式①
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式①のグラフ(図③)

図③
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☆0143
連立1次方程式を加減法で解く(式①)

式①
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上記のグラフ(図④)

図④
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・感想
グラフを作成することで、式と直線の対応具合が少し理解できたと思います。

>> 次回は、2次関数について、理解したことを綴っていきます。

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