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zoom RSS 数学を1からやりなおす Vol.24 パスカルの三角形(23)

<<   作成日時 : 2016/08/11 20:32   >>

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前回からの続きです。

パスカルの三角形 (22)
< 項の比による判定法つづき >



☆0098
次の一般項における数列の極限について考える。Dは定数である。

式@
画像

0 < r < 1 のときには、式Aが成り立つことから、

式A
画像

定数が、0 < D < 1 についても、極限は 0 となる。
では、D > 1 の極限はどうなるのか、見ていく。

式Aをan+1/anに代入する。

式B
画像

つまり、式Cが成り立つ。

式C
画像

これをlimで表すと、式Dになる。左辺が 0 になることから、右辺も 0 となる。

式D
画像

そして、式Dから、式Aの極限が 0 であることが式Eとして示される。

式E
画像



☆0099
上記の式から、
ある番号N0より大きい全てのN対して、-r < (aN+1/aN) < r という範囲において、
-r < (aN+1/aN) < r が常に成り立つNを式Cから見つけ出すことが可能となる。

例1 r=0.9,D=10 のとき、
画像

つまり、N0=11 以上の全ての番号において、条件がみたされる。
さて、式@
画像

に、具体的な数値を当てはめてみると、以下の関係が判明する。
画像

1からa10までは、an < an+1 という関係になっているのが、
11以上は、an > an+1 という関係に変わる。そして、そのまま 0 に収束していく。

例2 では本当にa11以降なら下記の式Fが満たされるのかを実証する。

式F
画像

r=0.9 のとき、a1の場合は、式Gとなり、満たされない。

式G
画像

11 の場合は満たされる。(式H)

式H
画像

ちなみに、a10 の場合は、式Iとなり、式Fは満たされない。

式I
画像


なお、上記は定数Dが 10 の場合であったが、
Dがそれぞれ 1,2,3,5 の場合には、式Fが満たされる最初のanは以下のように変化する。
r=0.9 のとき、
画像



☆0100
上記をまとめると、以下のとおりとなる。

1.|r|を満たすanを探し出すには、
式Cの右辺の式により求める。
これは、D > 1 の場合における、an+1 と、anの比である。
画像


2.aの実際の数を確認するには、式Eを使う。
画像


上記の1、2の条件により、下記の式が必ず満たされることが確認できる。
画像



・★0096を振り返る。
ここでは、計算ではなく、手で直接|r|を満たす数字を当てはめました。しかし、この方法だと、rの値が変わるたびに再計算が必要となるため、現実的な手段ではないと思いました。



・感想
rの値が変わっても、上記の1、2でどのようにも対応できるというのは、まるでプログラムで組まれたアプリの機能みたいだと思いました。

>> 次回は、もう1つの一般項での項の比の収束判定について、理解したことを記載していきます。

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