数学を1からやりなおす Vol.38 方程式と関数(10)

今回も、複素数について理解したことを綴っていきます。

方程式と関数
< 1のn乗根 >



☆0131
1のn乗根に取り組む前提として、代数学の基本定理について確認する。

代数学の基本定理 (wikipediaからの抜粋)
一般に実数係数の代数方程式が実数の範囲内に解を有するとは限らないが、
x^2 + 1 というただ 1 つの多項式の根(虚数単位)を実数体に付け加えると、
どんな代数方程式でもその体系内で解ける。

この定理の主張は、因数定理などを用いて帰納的に
 複素数係数の任意のn 次多項式
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は複素数の根を(重複度込みで考えれば)ちょうど n 個持つという事実を導くので、
このことを指して代数学の基本定理と呼ぶこともある。

とくに、どのような複素係数多項式であっても、それを複素数係数の一次式の冪積に分解できる。


☆0132
ある自然数nに対して、下記の方程式を考えたとき、その根を、1のn乗根という(式①)。

式①
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この方程式は、代数学の基本定理によりn個の根を持ち、明らかに全てのnについて、
x = 1 が根となる。
よって、以下の式②で表される。

式②
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そこで、以下の方程式を解き、(n - 1)個の根を求めればよい。
この方程式を円分方程式という(式③)。

式③
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☆0133
円分方程式の根を求める。

◆ n=1 の場合
解くべき方程式(式①)。

式①
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これは、1次方程式であり、根はx=1 である。
複素平面で表すと以下の図②となる。
Reは実数軸、Imは虚数軸である。

図②
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◆ n=2 の場合
解くべき方程式(式③)。

式③
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図④
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◆ n=3 の場合
解くべき方程式(式⑤)。

式⑤
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代数学の基本定理から、x=1 が根の1つであることを利用して、
下記のように因数分解して、根を求める(⑥)。


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図⑦
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◆ n=4 の場合
解くべき方程式(式⑧)。

式⑧
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3次方程式について、上記のxに -1 を代入することで 0 になることから、
因数として(x + 1)があることが判明した。
残りの因数は、組立除法によって判明する(⑩)。


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よって、式⑧の因数分解は、以下となる(⑪)。


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よって、式⑧の根は、以下となる(⑫)。


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図⑬
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◆ n=5 の場合
理解不足のため、保留。


☆0134
上記の計算から、1の乗根の解法と、その複素平面における幾何学的な意味には下記の関係がある。

1のn乗根は、複素平面上に正n角形を構成する。


・感想
1のn乗根のn=5は、相反方程式から元の式に戻すところで詰まってしまったため、一旦保留とすることにしました。
理解力、計算力がアップしたら、再度挑戦するつもりです。

>> 方程式と関数およびグラフについて、理解したことを記載していきます。

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