数学を1からやりなおす Vol.37 方程式と関数(9)

今回は、複素数の四則計算について、理解したことを綴っていきます。

方程式と関数
< 複素数の四則その2 >



☆0128
以下の式①に対して、四則計算を考える。

式①
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前提となる、複素数での計算のルール
その1 i ならば、そのままi とする。
その2 i の2乗ならば、-1 で置き換える。


定義1 加算、減算について以下のように定義する(②)。


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定義2 乗算について以下のように定義する(③)。


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定義3
除算については、複素数と共役複素数の積は実数になる(★0127)ことを利用して、分母を実数化する(④)。


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☆0129
< 定義による性質 >
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上記の定義は、複素数は、四則計算が自由にできる数の体系であることが判明すると同時に、
複素数同士の四則計算は複素数になることを意味する。

これを、「複素数の全体は、加減乗除の演算で閉じた体系である」という。


☆0130
< 複素数と、その他の数の違い >

自然数、整数、有理数、実数は、以下の順序的構造が成り立った。

1: a < b,a = b,a > b のいずれか1つが成り立つ。
2: a < c,b < c ならば、a < c

しかし、2つの複素数の大小は比べられない。(※)

※証明については、理解次第追記します。


・感想
定義については、今の段階ではそういうものだ、ということで留めます。
2つの複素数の大小が比べられないとは、なんとも好奇心をくすぐる性質です。
理解が深まったときにあらためて、そのことを確認できればと思っています。

>> 次回は、1のn乗根について理解したことを記載していきます。

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