数学を1からやりなおす Vol.36 方程式と関数(8)

今回は、複素数について理解したことを記載していきます。

方程式と関数
< 複素数の四則その1 >



☆0124
まず、2乗して-1となる数について、①で表す。


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上記の根√-1 を、i で表し、これを虚数単位 (imaginary unit)と呼ぶ(②)。


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i は、imaginaryの頭文字である。


☆0125
虚数の冪について、下記の法則が存在する(①)。


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虚数の冪は、乗数が1つ増えるごとに、上記の[1]~[4]のサイクルの根となる。
よって、例えば、i の8乗の根は、1 である。


☆0126
虚数とは、虚数単位と2つの実数、a,bを用いて、式①として表される数で、
これを複素数 (complex number)という。

式①
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特に、a = 0 ならば、それを「純虚数」と呼ぶ。

上記の式において、aをZの実部 (real part)、実数bを、虚部 (imaginary part)と呼ぶ。

さらに、aとbを以下のように表す(②)。


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Reは、複素平面における実軸、Imは、虚軸を表す。

また、虚部の記号がマイナスになっている複素数を、共役複素数 (complex conjugate)と呼び、記号Z*で表す(③)。


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☆0127
< 複素数の性質 >

複素数と、共役複素数の和は、式①のように実数となる。これをトレース (trace)と呼ぶ。
なお、Z + Z* を、シュプール (Squr)と呼ぶことがある。

式①
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複素数と、共役複素数の積も、式②のように実数となる。
なお、ZZ* を、ノルム (Norm)と呼ぶことがある。

式②
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ZZ*の平方根の正の方を、式③のように表し、これをZの絶対値という。

式③
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・感想
いよいよ複素数に入りました。本格的な導入はずっと後になるみたいですが、「オイラーの贈物」では1のn乗根について複素数で表す方法を学ぶために、この時点で一旦簡単に触れるようです。

>> 次回は複素数の四則計算の定義について理解したことを記載していきます。

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