数学を1からやりなおす Vol.35 方程式と関数(7)

今回は、高次方程式の計算に取り組んでみました。

方程式と関数
< 方程式の根その7 >




☆0120
< 高次方程式の計算 >

計算の前提として、因数定理を押さえておく。

因数定理(wikipediaから抜粋)
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☆0121
因数定理と組立除法を用いて、式①の根を求める。

例1 次の3次方程式の根を求める(式①)。

式①
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x = 0 を満たすaとして、-1 を式①に代入してみる。

-1 + 2 + 3 - 4 = 0

よって、因数のうち、(x + 1)が確定した。
残りの因数は、組立除法により、導き出す(②)。


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よって、式①の因数分解は、式③となる。

式③
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式③の2次方程式について、根の公式(I)を使って、根を求める(式④)。

根の公式(I)
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式④
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よって、式①の根は、以下となる(⑤)。


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☆0122
< 方程式の有理数解を使った高次方程式の解き方 >

方程式の有理数解と言う定理がある(高校数学の美しい物語から抜粋)

定理:
整数係数多項式=0 の形の方程式が有理数解 q/p を持つなら,
pは最高次の係数の約数であり,qは定数項の約数である。

これは、1次方程式の根をすぐに見つけられないときに使う方法である。

例2 方程式の有理数解の定理を使って、次の3次方程式の根を求める(式①)。

式①
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上記の定理から、±3/2 が導き出される。

つまり、±(1, 3) / ±(1, 2) の組み合わせとなるから、根の候補は、以下となる(②)。


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上記のうち、式①が満たされるのは、1/2 であることが判明した。
つまり、判明した因数は以下となる(③)


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検算
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残りの因数を判明させるために、組立除法を行う。③の根をpとする(④)。


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よって、式①の因数分解は以下の式⑤となる。

式⑤
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2次方程式の因数について、根の公式(I)を用いて、根を求める(⑥)。


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よって、式①の根は、以下となる(⑦)。


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☆0123
< 4次方程式の計算 >

例3 因数定理、有理数解の定理、組立除法を用いて、次の4次方程式の根を求める(式①)。

式①
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方程式の有理数解の定理から、根の候補を求める。

最高次の係数をp、定数項の係数をqとすると、
±q/pとなるので、±6/3となる。
根の候補は、±(1、2、3、6、1/3、2/3)となる。

ここで、2を式に代入すると、0 になることが確認できた(②)。


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つまり、式①のうち、因数(x - 2) については判明した。
残りの因数については、組立除法を用いる(③)。


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よって、式①の仮の因数分解は、式④となる。

式④
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3次式の因数は、さらに分解できるため、
以下の式⑤について、方程式の有理数解の定理から、根の候補を求める。

式⑤
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±(3/3) なので、根の候補は、±(1, 3, 1/3) となる。
このうち、-3 を代入してみると、 0 になることを確認できた(⑥)。


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つまり、式①のうち、(x + 3) についても判明したことになる。
残りの因数については、組立除法から導き出す(⑦)。


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よって、式①の因数分解は、式⑧となる。

式⑧
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2次方程式の因数について、根の公式(I)から根を求める(⑨)。


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よって、式①の根は、⑩となる。


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・感想
高次方程式は見た目からは全く解法が分からなかったのですが、2つの定理と組立除法を使うことで、根を求めることができ、よかったです。しかし、これを解くのにすごく時間がかかってますので、テストで解くには数をかなりこなさないといけないと思いました。

>> 次回は、複素数の四則について理解したことを綴っていきます。

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