数学を1からやりなおす Vol.21 パスカルの三角形(20)

今回は、収束の判定法について、理解したことを記載していきます。

パスカルの三角形 (20)
< 有界・単調数列 >



☆0092
与えられた数列の収束性を判定する方法の1つとして、
有界性と単調性を明らかにする、というものが挙げられる
(もう1つの方法は、項の比により判定する…後述)。


☆0093
数列anが、上に有界(bounded)であるとは、
任意のnに対して、an ≦ α となる定数αが存在することである。

数列anが、下に有界であるとは、
β ≦ anとなる定数βが存在することである。

このとき、αを、「数列の1つの上界(upper bound)(じょうかい)」、
βを、「数列の1つの下界(lower bound)(かかい)」、と呼ぶ。

上にも下にも有界の場合は、「有界」とだけ言う。


☆0094
次の一般項について、
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与えられる数列Snの収束性を調べる。


手順1

数列Snの次にくるSn+1との大小を比べる。
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手順2

上記の2つの式を二項定理により、展開する。


その前に、復習。

(a + b)のn乗の二項定理は、次のようにして導かれた。

まず、数列を「二項展開」したものをnkで表すことができた。(★0085)
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上記の式をΣの式で表すことができた。
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そして、「二項係数」の恒等式はこのように表すことができた。
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上記から二項定理を次の式で表すことができる。
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このとき、一般項が次の式で与えられていることから、
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以下として、計算すればよいことになる。
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>> 次回に続きます。

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