数学を1からやりなおす Vol.33 方程式と関数(5)

今回は、2次方程式の根の公式(解の公式)について理解したことを記載していきます。

方程式と関数
< 方程式の根その5 >



☆0115
< 2次方程式 根の公式 >

式①について、以下の手順にて根の公式を求める。

式①
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手順1
xの2乗から係数を取り去る(式②)。

式②
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手順2
完全平方式に変形する。

式③
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これを展開すると、式④になるが、手順1には「2mn」の項の係数 2 がない。

式④
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なので、b/aを 2 で割って、(x + b/2a)の式⑤の完全平方式を作る。

式⑤
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手順3
ここで、定数cを加えて式②の形にするため、
一旦、左辺と右辺を入れ替えてから、定数項を右辺に移項し、
両辺にc/aを加えることで、定数cを式⑥に含める。

式⑥
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手順4
ここで、式②から、左辺は 0 と等しいことから、式⑦として表すことができる。

式⑦
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手順5
左辺の( )の中身をXと見て、Xの2乗の根には√Xと、-√Xがあることを考慮しつつ、
x = ○ の形にするために、平方を開いたものが式⑧の根の公式となる。

式⑧ 根の公式(※)
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※ 一般的には「解の公式」と呼ばれることが多いですが、「オイラーの贈物」では根の公式という表現を使っているため、このブログではその記述に倣います。


☆0116
式①の、bxが、2bxの場合は、式⑨の根の公式を用いることができる。

式⑨
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係数は2だけではなく、偶数の場合に、式⑨を使うことができる。


☆0117
< 根の性質 >

根の公式
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について、αとβを式⑩とするとき、

式⑩
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係数a,b,c間には、式⑪が成り立つ。

式⑪
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根の公式の√内をDとしたとき、これを根の判別式 (discriminant)という(式⑫)。

式⑫
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このDは、2次方程式の根の正、0 、負に対応する。

・D > 0:根は異なる2つの実数 …実根 (real root)
・D = 0:根は重複した実数   …重根 (multipul root)
・D < 0:根は共役な虚数    …虚根 (imaginary root)


☆0118
これらの、係数の四則算法と、冪根 (power root)をとる作業のみで根を明らかにする方法を、
方程式の代数的解法と呼ぶ。



・感想
一見して、2次方程式の根の公式には拒否反応が起きてしまいましたがw、
その公式に至る流れを順番に追うことで、このような式になることが理解できてよかったです。

>> 次回は、2次方程式の計算に取り組むことで理解を深めます。

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