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zoom RSS 数学を1からやりなおす Vol.33 方程式と関数(5)

<<   作成日時 : 2016/08/26 14:04   >>

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今回は、2次方程式の根の公式(解の公式)について理解したことを記載していきます。

方程式と関数
< 方程式の根その5 >



☆0115
< 2次方程式 根の公式 >

式@について、以下の手順にて根の公式を求める。

式@
画像

手順1
xの2乗から係数を取り去る(式A)。

式A
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手順2
完全平方式に変形する。

式B
画像

これを展開すると、式Cになるが、手順1には「2mn」の項の係数 2 がない。

式C
画像

なので、b/aを 2 で割って、(x + b/2a)の式Dの完全平方式を作る。

式D
画像

手順3
ここで、定数cを加えて式Aの形にするため、
一旦、左辺と右辺を入れ替えてから、定数項を右辺に移項し、
両辺にc/aを加えることで、定数cを式Eに含める。

式E
画像

手順4
ここで、式Aから、左辺は 0 と等しいことから、式Fとして表すことができる。

式F
画像

手順5
左辺の( )の中身をXと見て、Xの2乗の根には√Xと、-√Xがあることを考慮しつつ、
x = ○ の形にするために、平方を開いたものが式Gの根の公式となる。

式G 根の公式(※)
画像


※ 一般的には「解の公式」と呼ばれることが多いですが、「オイラーの贈物」では根の公式という表現を使っているため、このブログではその記述に倣います。


☆0116
式@の、bxが、2bxの場合は、式Hの根の公式を用いることができる。

式H
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係数は2だけではなく、偶数の場合に、式Hを使うことができる。


☆0117
< 根の性質 >

根の公式
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について、αとβを式Iとするとき、

式I
画像

係数a,b,c間には、式Jが成り立つ。

式J
画像

根の公式の√内をDとしたとき、これを根の判別式 (discriminant)という(式K)。

式K
画像

このDは、2次方程式の根の正、0 、負に対応する。

・D > 0:根は異なる2つの実数 …実根 (real root)
・D = 0:根は重複した実数   …重根 (multipul root)
・D < 0:根は共役な虚数    …虚根 (imaginary root)


☆0118
これらの、係数の四則算法と、冪根 (power root)をとる作業のみで根を明らかにする方法を、
方程式の代数的解法と呼ぶ。



・感想
一見して、2次方程式の根の公式には拒否反応が起きてしまいましたがw、
その公式に至る流れを順番に追うことで、このような式になることが理解できてよかったです。

>> 次回は、2次方程式の計算に取り組むことで理解を深めます。

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