数学を1からやりなおす Vol.20 パスカルの三角形(19)

今回は、パスカルの三角形とフィボナッチ数列の関係性について理解したことを記載していきます。

パスカルの三角形 (19)
<　フィボナッチ数列と無限数列　>

☆0087
フィボナッチ数列 (Fibonacci sequence) は、漸化式 (recurrence formura) の 1つで、
ある項と、その1つ前の項の和が、次の項の数になっている、というものである。
また、無限数列でもある。

フィボナッチ数列
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…
F0 = 0, F1 = 1　としたとき、
Fn + 2 = Fn + Fn + 1 (n ≧ 0)


☆0088
パスカルの三角形との関係

4段目の水色の3に注目すると、
その3から、桂馬とびで右端の1まで数字を加算していくと、
その数は、フィボナッチ数の「8」となる。
同様に、5段目の橙色の4に注目して、加算していくと、
その数は、フィボナッチ数の「21」となる。


☆0089
< 無限数列の極限 >

実数をｒ、指数をｎとすると、

が、成り立つ。

これを、増加数列 (increasing sequence) と呼ぶ。
上記の場合は、どの二項を取っても値が単純に増加していくことから、
単調数列 (monotonic sequence)


例　ｒ＝ 3 のとき、

となる。
これを、減少数列 (decreasing sequence) という。
この場合も、値が単純に減少して 0 に近づくので、単調数列である。
例 ｒ＝ 0.5 のとき、

④　ｒ ＜ -1
の場合も、③と同様に、ｎの増加の内容によって正負を変える。

⑤　ｒ＝ 0，ｒ＝ 1　の場合は、
ｎの増加に関わらず、ｒの値から不変である。


以上の性質から、下記の無限数列の式が定義される。

☆0090
ｎの値が限りなく大きくなるとき、第ｎ項の大きさは、下記の 4 つの性質のどれかに当てはまる。

１．　1 ＜ ｒ のとき、限りなく大きくなる　…上記①に該当
　…このことを、「正の無限大 (∞) にに発散 (divergence) する」と言う。

２．　ｒ＝ 1 のとき、1 である。　…⑤

３．　| ｒ | ＜ 1 のとき、0 に限りなく近づく。　…②③
　…このことを、「極限値 (limitvalue) 0 に収束 (convergence) する」と言う。

４．　ｒ≦ -1 のとき、どのような値にも近づかない。　…④
　…このことを、「極限は存在しない」、または、「発散する」と言う。


☆0091
下記の収束する 2 つの数列について、

次の四則演算が成り立つ。

①～③とも、βが 0 にならないものを今の学力では提示できないので、例示は後になって理解が深まってからにします。



・感想
フィボナッチ数のことを、フィナボッチとずぅっっっっと間違えて覚えてました。まあ、日常生活でフィボナッチ数が出てくることは余りないので、実害はなかったのですがｗ

>>　次回は、収束の判定法について理解したことを記載していきます。