数学を1からやりなおす Vol.18 パスカルの三角形(17)

今回は、二項定理について、理解したことを記載していきます。

パスカルの三角形 (17)
< 二項定理 >


☆0080
二項aとbの、それぞれ0乗から7乗までの組み合わせは以下のとおりとなる。
画像


しかし、(a + b)のn乗について、この表のすべてが出てくるわけではなく、実際は、次のパスカルの三角形との組み合わせの範囲のみとなる。

パスカルの三角形
画像


各項に、上記の係数を当てはめると、色のついた部分のみが実際の8段目までの二項の組み合わせとなる。
画像


上記を式として表すと、以下の通りとなる。
画像

訂正 (a + b)の 0 乗の解は、「1」です。


☆0081
上記のように、具体例で書こうとすると、パスカルの三角形の段が増えるごとに二項展開の式も増えていってしまう。
これをコンパクトに表すには、「C (combination)」を利用する。

画像


このCという記号で、指数がn個の場合に、aの指数をn、bの指数をrとして、
各項にbの指数が最大n個のうち、r個出てくるか、という組み合わせを表すことができる。

これを使って、パスカルの三角形の段がnの場合の二項展開の式を表すと、以下のようになる。
画像


☆0082
さらに、二項展開の右辺が多項式(n + 1)にになっていること(※)を総和の記号Σ(summation sign)で略記することができる。
※nが7とのとき、8項式になる。
画像

これは、rを 0 からnまで繰り返すという意味である。
これにより、(a + b)のn乗の二項展開の式を、次のように簡潔に表すことが可能となる。
画像

この式を「二項定理 (binomial theorem)」と呼ぶ。


☆0083
なお、nr が意味する二項係数は、以下の式と常に等しい。
画像


 n= 3,bの指数をrとするとき、
画像

画像

よって、下記の二項展開の式の係数と一致していることが証明された。
画像



☆0084
二項係数には、以下の関係がある。
画像


 n= 3,r= 2 のとき、
画像

画像

よって、
画像

⇔ 3 + 1 = 4



・感想
だんだん公式の見た目が難しそうになってきました。
しかし、その公式をそのまま解く、と考えるのではなく、
この式は「圧縮」されているので、
実際は、その式の背後に隠されている数々の式を「展開」してから解く、と
考えると良いのではないか、と思っています。

>> 次回も、二項定理です。

ブログ気持玉

クリックして気持ちを伝えよう!

ログインしてクリックすれば、自分のブログへのリンクが付きます。

→ログインへ

なるほど(納得、参考になった、ヘー)
驚いた
面白い
ナイス
ガッツ(がんばれ!)
かわいい

気持玉数 : 0

この記事へのコメント

この記事へのトラックバック