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zoom RSS 数学を1からやりなおす Vol.17 パスカルの三角形(16)

<<   作成日時 : 2016/07/18 21:02   >>

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今回は、二項定理の前準備として、階乗について理解したことを記載していきます。

パスカルの三角形 (16)
< 階乗 >



☆0076
1から始まる n個の整数全部の積を,nの階乗といい,これを記号 n!で表わす。
特に、0! = 1 とする。(参考)

例 7! のとき、
7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7
   = 5040


☆0077
偶数だけ、奇数だけの階乗も二重階乗で表すことができる。
二重階乗は、階乗を「1つ飛ばしで」計算するものである。


5!! = 1 × 3 × 5
     = 15

6!! = 2 × 4 × 6
     = 48

☆0078
偶数の二重階乗には公式がある。
画像

この公式は、以下のようにして求められる。

例1 8!!

8!! = 2 × 4 × 6 × 8
つまり、
画像

と、書き表すことができる。

このとき、8 を 2 の倍数として表すと、2 × 4 となるが、その 4 を nとすると、次のような式となる。
画像


例2 n = 5 のとき(つまり、10の偶数階乗を求める)
画像

検算
10!! = 2 × 4 × 6 × 8 × 10
     = 3840


☆0079
奇数の二重階乗の公式は以下となる。
画像

この公式は、以下のようにして求められる。

例1 9!!

9!! = 1 × 3 × 5 × 7 × 9

このとき、9の二重階乗に、9 の次、すなわち 10 の二重階乗をかけて、
一旦、10 の階乗として計算する。

9!! × 10!! = (1 × 3 × 5 × 7 × 9) (2 × 4 × 6 × 8 × 10)
            = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10
            = 10!

そして、10 の階乗を、最初に掛けた 10 の二重階乗で割ることで、9 の二重階乗となる。
つまり、
画像

画像

検算
9!! = 1 × 3 × 5 × 7 × 9
     = 945

例2 11!!を求める。

11 は (12 - 1) で、(2 × 6 - 1)なので、n = 6 とする。
画像

検算
11!! = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 × 11
     = 10395


上記公式のおさらい
画像




・感想
二重階乗については初めて知りました。この公式の証明は偶数と奇数では方法が違うというのが面白かったです。

>> 次回は、二項定理について、理解したことを綴っていきます。

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