数学を1からやりなおす Vol.9 パスカルの三角形(8)

今回は、整数について理解したことを記載していきます。

パスカルの三角形 (8)
< 整数 >



☆0032
< 負の数の定義 >
0よりも、1小さい数を「-1」とする。
これを負の整数をいう。
0と正負の数、両方を合わせて整数(integer)という。


☆0033
整数同士の引き算は、整数になる。
このことを、整数は「自由に」加減の計算ができるといえる。

例 
0 - 5 = -5, 3 - 4 = -1, -10 - 5 = -15


☆0034
整数において、加減の計算は、「和の結合法則」を満たす。

(a + b) + c = a + (b + c)


☆0035
和の計算は、どの順序でもできるので、各項を計算に便利な組み合わせにすることができる。

例 計算の単純化
a = 31, b = 46, c = 29 のとき、
(a + b) + c = a + (b + c) = (31 + 46) + 29
= (31 + 29) + 46  …このほうが計算しやすい
= (60) +46
= 106


☆0036
加えると0になる整数の存在
いかなる整数 aに対しても、それを加えると 0 になる整数 -aが存在する。

a + (-a) = 0


☆0037
整数同士の乗除の結果の組み合わせは以下のとおりとなる。
正の整数を p、負の整数を mとしたとき、

① p × p = p
② p × m = m
③ m × p = m
④ m × m = p

そして、①~④の積のいずれも整数となる。


☆0038
除算については、整数の範囲では「自由に」計算できない。
商が小数となる場合があるため。

つまり、整数において、自由に計算できるのは、加算、減算、乗算となる。


☆0039
整数においては、指数法則が成り立つ。 ※画像をクリックするとウィンドウが開きます。

画像



☆0040
指数が0のとき、その項の答えは 1 になる。

画像


つまり、整数においても、指数法則は成り立つといえる。


☆0041
< 整数の濃度 >
自然数の濃度は、アレフ・ゼロだった。
整数の場合も、可算濃度としては、アレフ・ゼロとなる。

自然数の場合
番号① ⇒ 1
番号② ⇒ 2
番号③ ⇒ 3
番号④ ⇒ 4
番号⑤ ⇒ 5


整数の場合
番号① ⇒ 0
番号② ⇒ 1
番号③ ⇒ -1
番号④ ⇒ 2
番号⑤ ⇒ -2


上記の番号は自然数である。つまり、自然数との「一対一対応」が成り立つため、自然数と整数の可算濃度は等しい。


・感想
0と負の数の性質は独特なものがありますが、法則も展開してみると、納得がいく内容であることが分かりました。


>> 次回は、実数について理解したことを記載していきます。

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